Une étude de fonction

1. Étudier le signe de la fonction \(P\)  définie sur  \(\mathbb{R}\)  par \(P(x) = x^2 + 4x + 3\) .
On considère la fonction \(f\)  définie sur l'intervalle \(]- 2~;~ +\infty[\)  par  \(f(x) = \dfrac{x^2 +x - 1}{x + 2}\)  et on note \(\mathcal{C}_f\)  sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction  \(f\) est dérivable sur l'intervalle \(]- 2~; +\infty[\) .

2. Montrer que, pour tout réel \(x\)  de l'intervalle \(]- 2~; +\infty[\) ,  \(f'(x) = \dfrac{P(x)}{(x + 2 )^2}\)

où  \(f'\)  est la fonction dérivée de \(f\) .

3. Étudier le signe de \(f'(x)\)  sur  \(]- 2~; +\infty[\)  et construire le tableau de variations de la fonction \(f\)  sur \(]- 2~; +\infty[\) .

4. Donner le minimum de la fonction \(f\)  sur \(]- 2~; +\infty[\)  et la valeur pour laquelle il est atteint (on donnera les valeurs exactes).

5. Déterminer le coefficient directeur de la tangente \(\mathcal{T}\)  à la courbe \(\mathcal{C}_f\)  au point d'abscisse \(2\) .